6 · Bilan — Calcul littéral — Mathématiques

6 · LES ERREURS CLASSIQUES

Les erreurs classiques du chapitre

Sept erreurs reviennent souvent ; l’encadré dit, pour la plupart, d’où elles viennent. Avant d’ouvrir « Désamorcer le piège avec des nombres », cherche toi-même des nombres qui démasquent le piège : comme dans le modèle T3, une seule valeur qui ne convient pas suffit à réfuter une égalité annoncée pour tous les nombres.

ATTENTION · LES ERREURS CLASSIQUES

$(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} :$ l’erreur reine. Pourquoi on la commet : on croit que « mettre au carré » se distribue comme une multiplication. Contre-exemple : $(3 + 4)^{2} = 49 \neq = 25 .$ Le double produit $2 ab$ n’est pas une option.
Désamorcer le piège avec des nombres
Avec les nombres de l’encadré, $a = 3$ et $b = 4,$ $(a + b)^{2} = 7^{2} = 49$ mais $a^{2} + b^{2} = 9 + 16 = 25 :$ comme $49 \neq = 25,$ l’égalité n’est pas vraie pour tous les nombres $a$ et $b .$
L’écart, $49 - 25 = 24,$ vaut exactement $2 \times 3 \times 4 :$ c’est le double produit $2 ab .$ Avec lui, $a^{2} + 2 ab + b^{2} = 9 + 24 + 16 = 49$ ✓.
$(2 x)^{2} = 2 x^{2} :$ le carré porte sur tout le facteur : $(2 x)^{2} = 4 x^{2} .$ Pourquoi : on ne voit que la lettre, pas le coefficient.
Désamorcer le piège avec des nombres
Pour $x = 1,$ $(2 x)^{2} = 2^{2} = 4$ mais $2 x^{2} = 2 \times 1^{2} = 2 :$ comme $4 \neq = 2,$ l’égalité n’est pas vraie pour tout nombre $x .$
Avec la bonne écriture, $4 x^{2} = 4 \times 1^{2} = 4$ ✓. Le carré porte sur $2$ comme sur $x,$ car $(2 x)^{2} = 2 x \times 2 x = 4 x^{2} .$
Écrire $- (3 - 8 x) = - 3 - 8 x :$ le signe $-$ doit changer chaque terme : $- (3 - 8 x) = - 3 + 8 x .$ Pourquoi : on s’arrête au premier terme.
Désamorcer le piège avec des nombres
Pour $x = 1,$ $- (3 - 8 x) = - (3 - 8) = - (- 5) = 5$ mais $- 3 - 8 x = - 3 - 8 = - 11 :$ comme $5 \neq = - 11,$ l’égalité n’est pas vraie pour tout nombre $x .$
Avec la bonne écriture, $- 3 + 8 x = - 3 + 8 = 5$ ✓. Le contrôle du modèle L2 aurait aussi révélé l’erreur : la somme d’une expression et de son opposé vaut $0,$ or $(3 - 8 x) + (- 3 - 8 x) = - 16 x,$ et non $0 .$
Factoriser $x^{2} - 169$ en $(x - 13)^{2} :$ confusion entre $a^{2} - b^{2}$ (deux termes) et $(a - b)^{2}$ (qui, développé, a trois termes). Vérifier en redéveloppant : $(x - 13)^{2} = x^{2} - 26 x + 169,$ et non $x^{2} - 169 .$
Désamorcer le piège avec des nombres
Pour $x = 1,$ $x^{2} - 169 = 1 - 169 = - 168$ mais $(x - 13)^{2} = (- 12)^{2} = 144 :$ comme $- 168 \neq = 144,$ l’égalité $x^{2} - 169 = (x - 13)^{2}$ n’est pas vraie pour tout nombre $x .$
Avec la bonne factorisation, $(x + 13) (x - 13) = 14 \times (- 12) = - 168$ ✓. Le signe suffisait à alerter : un carré comme $(x - 13)^{2}$ n’est jamais négatif, alors que $x^{2} - 169$ l’est pour $x = 1 .$
Croire que $5 x + 4$ est un produit « parce qu’il y a $5 x » :$ l’opération principale est $+,$ c’est une somme, on ne peut rien y simplifier.
Désamorcer le piège avec des nombres
Quelle que soit la valeur de $x,$ on calcule d’abord $5 x,$ puis on ajoute $4$ (pour $x = 2 :$ $5 \times 2 = 10,$ puis $10 + 4 = 14) :$ le dernier calcul est toujours une addition, donc $5 x + 4$ est une somme (modèle L1).
Le piège habituel est de « simplifier » $5 x + 4$ en $9 x .$ Pour $x = 1,$ $5 x + 4 = 9$ et $9 x = 9 :$ les deux membres sont égaux, cette valeur ne réfute pas l’égalité (sans la prouver) ; on essaie la valeur suivante. Pour $x = 2,$ $5 x + 4 = 14$ mais $9 x = 18 :$ comme $14 \neq = 18,$ l’égalité $5 x + 4 = 9 x$ n’est pas vraie pour tout nombre $x .$
S’arrêter à $3 x (3 x - 2)$ pour factoriser $9 x^{2} - 6 x + 1 :$ on a oublié le $+ 1,$ l’expression n’était pas $9 x^{2} - 6 x;$ en fait, $9 x^{2} - 6 x + 1 = (3 x - 1)^{2} .$
Désamorcer le piège avec des nombres
Pour $x = 1,$ $9 x^{2} - 6 x + 1 = 9 - 6 + 1 = 4$ mais $3 x (3 x - 2) = 3 \times 1 = 3 :$ comme $4 \neq = 3,$ l’égalité $9 x^{2} - 6 x + 1 = 3 x (3 x - 2)$ n’est pas vraie pour tout nombre $x;$ l’écart, $1,$ est le $+ 1$ oublié.
Avec la bonne factorisation, $(3 x - 1)^{2} = 2^{2} = 4$ ✓.
Croire qu’une vérification sur trois exemples démontre une propriété portant sur tous les entiers : ces essais établissent trois cas seulement ; ici, la preuve doit raisonner sur un entier quelconque et justifier chaque étape.
Désamorcer le piège avec des nombres
Pour $n = 1,$ $2$ et $3,$ l’expression $n^{2} + n + 41$ vaut $43,$ $47$ et $53 :$ trois nombres premiers. Les essais réussissent encore pour chaque entier de $4$ à $39 .$ Pourtant, pour $n = 40,$ $4 0^{2} + 40 + 41 = 1681 = 41 \times 41,$ qui n’est pas premier : l’affirmation « pour tout entier $n,$ $n^{2} + n + 41$ est premier » est fausse.
Trente-neuf essais réussis n’établissaient donc que trente-neuf cas : seule une preuve qui raisonne sur un entier quelconque (modèle J2) établit une propriété pour tous les entiers.

Au TD : sujets type Brevet 6.1 et 6.3 à 6.6 ; exercice 9.1 (modèles V1 et F3), à reprendre au chapitre 02

Au TD : facultatifs : exercices 6.2, 6.7 à 6.9, 7.1 à 7.4, 8.1 à 8.6 et 9.2

FICHE DE SYNTHÈSE

La synthèse du chapitre : reconnaître / calculer / conclure

Je reconnais…	… donc je calcule…	… et je vérifie
un produit $k (a + b)$ ou $(a + b) (c + d)$	je développe (simple ou double distributivité), puis je réduis	valeur test $x = 1$
$(a + b)^{2}$	$a^{2} + 2 ab + b^{2}$	le double produit est là ; valeur test $x = 1$
$(a - b)^{2}$	$a^{2} - 2 ab + b^{2}$	signe $-$ uniquement sur $2 ab;$ valeur test $x = 1$
$(a + b) (a - b)$	$a^{2} - b^{2}$	deux termes seulement ; valeur test $x = 1$
une somme $k a + k b$	je factorise par le facteur commun $k$ (nombre, lettre ou parenthèse)	redévelopper de tête ; parenthèse commune : valeur test $x = 1$
deux carrés séparés par $-$	$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$	redévelopper de tête
trois termes, extrêmes carrés, milieu $= 2 ab$	$(a + b)^{2}$ si $+ 2 ab,$ $(a - b)^{2}$ si $- 2 ab$	compte du double produit, puis redévelopper de tête
$20 1^{2},$ $197 \times 203$ ou $8 4^{2} - 1 6^{2} \dots$	nombre rond voisin (C1) ou forme développée reconnue (C2)	chiffre des unités (et ordre de grandeur pour un carré ou un produit)
« montrer que pour tout entier… »	littéral : $2 n$ pair, $2 n + 1$ impair, $3 k$ multiple de $3,$ $n,$ $n + 1$ consécutifs ; puis développer ou factoriser	conclusion en « Donc, pour tout entier $n \dots »;$ contrôle numérique facultatif après la preuve

Questions flash (sans aide)

Cherche sans aide, puis ouvre la réponse pour te corriger.

01Développer $(x + 15)^{2} .$

Voir la réponse

$x^{2} + 30 x + 225,$ car $(x + 15)^{2} = x^{2} + 2 \times x \times 15 + 1 5^{2} .$

02Factoriser $x^{2} - 400 .$

Voir la réponse

$(x + 20) (x - 20),$ car $x^{2} - 400 = x^{2} - 2 0^{2},$ différence de deux carrés.

03Factoriser $9 x^{2} - 36 .$

Voir la réponse

$(3 x + 6) (3 x - 6) = 9 (x + 2) (x - 2),$ car $9 x^{2} - 36 = (3 x)^{2} - 6^{2};$ on met ensuite $3$ en facteur dans chaque facteur : $3 x + 6 = 3 (x + 2)$ et $3 x - 6 = 3 (x - 2) .$

04Calculer $30 1^{2}$ de tête.

Voir la réponse

$90000 + 600 + 1 = 90601,$ car $30 1^{2} = (300 + 1)^{2} = 30 0^{2} + 2 \times 300 \times 1 + 1^{2} .$

05Un multiple de $3$ s’écrit… ? Un impair s’écrit… ?

Voir la réponse

$3 k;$ $2 n + 1$ (avec $k$ et $n$ entiers), car $3 k = 3 \times k$ est le produit de $3$ par un entier, et $2 n + 1$ suit le nombre pair $2 n .$

LEXIQUE

Lexique de consultation progressive

La carte des modèles de rédaction

Pour chaque type d’exercice, son modèle de rédaction : le code mène au modèle dans le cours, les numéros aux exercices du TD.

Code	Type d’exercice	Les étapes, en bref	Exercices du TD
L1	Somme ou produit ?	dernier calcul, nature, termes ou facteurs	1.1, bloc c)
L2	Opposé d’une expression	$- (\dots),$ changer le signe de chaque terme, somme nulle	1.2 b), 6.1 c)
L3	Réduire	termes semblables, regroupement, coefficients additionnés	1.2 c)
D1	Développer avec la distributivité	tous les produits, chacun avec son signe, réduction, contrôle en $x = 1$	1.2 a), 1.3, 1.4, 3.6 a), 6.1 c), 6.3 a), 6.6 a), bloc a)
D2	Développer avec une identité	$a$ et $b,$ formule avec les blocs, chaque morceau, contrôle en $x = 1$	2.1, 2.2, 3.5, 6.1 a), 6.3 a), 6.6 a), bloc a)
F1	Facteur commun	facteur commun, le faire apparaître, le mettre devant, redévelopper	3.1
F2	Parenthèse commune	parenthèse commune, crochet, réduction du crochet, contrôle en $x = 1$	3.2, bloc a)
F3	Factoriser avec une identité	structure, $a$ et $b,$ identité, réduction des facteurs, redévelopper	2.3, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6 c), 6.1 b), 6.6 b), 9.1 b)
C1	Carré ou produit proche d’un nombre rond	nombre rond et petit écart, formule, calcul de tête, unités et ordre de grandeur	4.1, 4.4 a) à c), 4.5 c), 6.4 a) b)
C2	Forme développée reconnue	forme, produit, calcul de tête, chiffre des unités	4.2, 4.3 a), 4.4 d), 6.4 c)
V1	Valeur d’une expression	recopier, remplacer (négatif entre parenthèses), priorités, phrase	6.3 c), 6.6 c) d), 9.1 a) c)
P1	Programme de calcul	nombre de départ, une instruction par calcul, résultat	5.1 a) à c), 5.2, 5.3 a) à c)
P2	Nombre de départ	égalité, même opération sur les deux membres, conclusion, vérification	5.1 c), 5.3 d)
J1	Égalité pour tout nombre	partir d’un membre, chaîne justifiée, « Donc, pour tout »	1.5, 2.4 d), 4.3 c), 5.1 d), 5.2 b), 6.3 b)
J2	Propriété des entiers	« Soit », calcul, « Or », « Donc, pour tout entier »	5.4 d) e), 6.5 b), bloc d)
J3	Exemples et conjecture	calculs, constat et conjecture, portée des exemples	5.1 d), 5.2 a), 5.4 a) c), 6.5 a)
T1	Problème	ce que l’on sait, ce que l’on cherche, calcul, conclusion, vérification	4.3 a) b)
T2	Vrai ou faux	réponse annoncée, justification selon le cas	2.4, bloc c)
T3	Contre-exemple	exemple le plus simple, les deux membres, conclusion	2.4 a) b) e) f), 3.6 b), 4.5 a) b) d), 5.4 f), 6.5 c), bloc b)

« bloc » : le bloc transversal « Justifier et raisonner », après l’exercice 5.8.

Lire les symboles : comment on les dit à voix haute

Une écriture littérale n’est pas un code secret : elle abrège une phrase sur des nombres. Ce tableau est un répertoire à consulter au besoin, et non une liste à mémoriser avant de commencer. Lis d’abord l’énoncé en français ; reviens ensuite au symbole pour l’abréger. Pour chaque notation, la dernière colonne précise aussi à quoi elle sert dans le chapitre.

Symbole	On le lit	Ce qu’il signifie et à quoi il sert
$3 x$ $ab$	« trois $x »,$ $« a$ $b »$	le signe $\times$ est sous-entendu entre un nombre et une lettre, entre deux lettres ou devant une parenthèse : $3 x = 3 \times x,$ $ab = a \times b,$ $2 ab = 2 \times a \times b .$ Usage : lire un double produit $2 ab$ comme un seul terme.
$x^{2}$	$« x$ au carré »	$x \times x;$ de même $E^{2} = E \times E$ pour une expression $E$ entière. Usage : les carrés extrêmes d’une identité, comme $9 x^{2} = (3 x)^{2} .$
$(a + b)^{2}$	$« a$ plus $b,$ le tout au carré »	les parenthèses portent sur toute la somme : c’est $(a + b) \times (a + b),$ et non $a^{2} + b^{2} .$ Usage : reconnaître un carré de somme avant de développer.
$k (a + b)$	$« k$ facteur de $a$ plus $b »$	le produit du nombre $k$ par la somme $a + b;$ la parenthèse forme un bloc. Usage : la distributivité $k (a + b) = k a + k b,$ dans les deux sens.
$- (a - b)$	« l’opposé de la différence de $a$ et de $b »$	le signe $-$ devant la parenthèse est un facteur $- 1 :$ $- (a - b) = - a + b .$ Usage : soustraire une expression entière sans perdre de signe.
$[]$	« crochet »	un crochet joue le rôle d’une parenthèse qui en contient d’autres : $(x - 5) [(x + 1) + (x + 4)] .$ Usage : mettre une parenthèse en facteur (modèle F2), factoriser un bloc au carré (modèle F3).
$\frac{x}{2}$	$« x$ sur deux »	la moitié de $x;$ on a $(\frac{x}{2})^{2} = \frac{x ^{2}}{4} .$ Usage : les identités avec des fractions.
$=$	« égale »	quatre usages : formule, identité, évaluation, équation (partie 1). Usage : se demander à chaque ligne « pourquoi ces deux membres ont-ils la même valeur ? ».
$\neq =$	« différent de »	les deux membres n’ont pas la même valeur : $(3 + 4)^{2} \neq = 3^{2} + 4^{2} .$ Usage : écrire un contre-exemple.
$\geq$ $\leq$ $<$	« supérieur ou égal à », « inférieur ou égal à », « strictement inférieur à »	$d^{2} \geq 0 :$ un carré est toujours positif ou nul ; $0 < b < a :$ $b$ est strictement compris entre $0$ et $a .$ Usage : préciser les valeurs permises, comme $n \geq 2$ pour le carré de mosaïque ou $0 < b < a$ pour une preuve par les aires.
$2 n$ $2 n + 1$	« deux $n »,$ « deux $n$ plus un »	avec $n$ entier, un nombre pair et un nombre impair ; $3 k$ est un multiple de $3;$ $n,$ $n + 1,$ $n + 2$ sont trois entiers consécutifs. Usage : traduire un énoncé en littéral avant de démontrer.
$S_{n}$	$« S$ indice $n »$	une grandeur qui dépend de l’entier $n;$ $S_{3}$ est sa valeur pour $n = 3 .$ Usage : nommer un total qui change avec $n .$
$1 + 3 + \dots + (2 n - 1)$	« un plus trois, et ainsi de suite jusqu’à deux $n$ moins un »	les points de suspension remplacent les termes intermédiaires. Usage : écrire une somme dont le nombre de termes dépend de $n$ (exercice 8.2 du TD, facultatif).
$10$	« racine carrée de dix »	le nombre positif dont le carré vaut $10;$ il sera défini au chapitre 02. Usage : factoriser $x^{2} - 10,$ plus tard.
$A$	« A rond »	une aire. Usage : l’aire d’une bordure, $A = (x + 4)^{2} - x^{2},$ ou de la partie visible d’un carton (modèle T1).
$d \overset{e}{ˊ} velopper$	« donne, en développant »	le passage d’une écriture à une autre écriture de même valeur. Usage : le schéma produit / somme de la partie 1.
$■$	« fin de la démonstration »	signale que la preuve est terminée et que la conclusion est acquise. Usage : clore proprement une rédaction.

Erreurs classiques, synthèse et lexique

Les erreurs classiques du chapitre

La synthèse du chapitre : reconnaître / calculer / conclure

Questions flash (sans aide)

QCM : une seule réponse exacte par question

Lexique de consultation progressive

La carte des modèles de rédaction

Lire les symboles : comment on les dit à voix haute