Partie 5 sur 6

Le calcul malin, et démontrer avec des lettres

5.1 · LE CALCUL MALIN

Les identités comme outil de vitesse

DÉFINITION · CALCUL ASTUCIEUX

Calculer astucieusement, c’est réécrire un calcul sans changer sa valeur, de façon que les opérations restantes soient plus simples. Un nombre « rond » $(10,$ $100,$ $1000 \dots)$ est souvent un indice : un nombre proche d’un nombre rond s’écrit « nombre rond plus ou moins un petit nombre », comme $105 = 100 + 5 .$ Mais l’indice ne détermine pas à lui seul l’outil : identité remarquable ou distributivité.

En clair : on ne calcule pas plus vite en calculant plus fort, mais en choisissant une écriture où il ne reste que des calculs faciles.

Pourquoi les identités servent-elles à calculer de tête ?

Outil de démonstration : une identité est vraie pour tous les nombres.

Les identités de la section 3.2 sont vraies pour tous les nombres $a$ et $b,$ donc aussi pour $a = 100$ et $b = 5 :$

10 5^{2} = (100 + 5)^{2} = 10 0^{2} + 2 \times 100 \times 5 + 5^{2} = 10000 + 1000 + 25 = 11 025.

Avec $a$ rond et $b$ petit, chaque terme se calcule de tête : trois secondes de calcul, sans calculatrice. Le résultat est exact, car l’identité est démontrée pour tous les nombres : ce n’est pas une approximation. ■

Figure 16.

Calculer de tête avec une aire

Petit nombre

b

Le nombre est écrit « nombre rond

a

plus un petit nombre

b »;

avec

b

négatif, il est inférieur au nombre rond, comme

99 = 100 - 1 .

« Un carré » découpe le carré de ce nombre, « Un produit » le rectangle de côtés

a + b

a - b;

chaque morceau de l’aire se calcule de tête. Le schéma n’est pas à l’échelle : la bande étroite est élargie pour rester visible.

Pour s’entraîner, en fin de partie : modèle C1, « Calculer de tête un carré ou un produit proche d’un nombre rond ».

ATTENTION · APPLICABLE NE SIGNIFIE PAS TOUJOURS AVANTAGEUX

Tout produit de deux nombres $u$ et $v$ peut, sur les réels, être centré autour de leur moyenne :

uv = (\frac{u + v}{2} - \frac{u - v}{2}) uv = \times (\frac{u + v}{2} + \frac{u - v}{2}) = (\frac{u + v}{2})^{2} - (\frac{u - v}{2})^{2} .

Ainsi, $47 \times 999 = 52 3^{2} - 47 6^{2}$ est une égalité correcte, mais elle rend le calcul plus difficile. La distributivité $47 \times 999 = 47 \times (1000 - 1) = 46953$ est ici plus économique. Une méthode est « maligne » seulement si elle est à la fois exacte et moins coûteuse.

Pour s’entraîner, en fin de partie : modèle C2, « Calculer de tête en reconnaissant la forme développée d’une identité ».

Activité : une bordure carrée, développer ou factoriser une aire

Un carré intérieur a pour côté $x$ mètres. Une bordure de $2 m$ de largeur l’entoure : le grand carré a donc pour côté $x + 4 .$

L’aire de la bordure est notée $A,$ que l’on lit « A rond ». En clair : $A$ est le nom donné à cette aire, en mètres carrés. C’est la différence des aires :

A = (x + 4)^{2} - x^{2} .

Figure 17.

La bordure carrée, lue de deux façons

Côté

x

du carré intérieur, en m6 m

Le grand carré a pour côté

x + 4;

la bordure, en orange, a

2 m

de largeur. « Développer » la découpe en quatre bandes de

x

sur

2

et quatre coins de

2

sur

2;

« Factoriser » en quatre bandes de

x + 2

sur

2,

qui se recollent en un rectangle de

2 x + 4

sur

4 .

Deux transformations donnent deux lectures : en développant, puis, plus directement, en factorisant,

A = x^{2} + 8 x + 16 - x^{2} = 8 x + 16

et

A = [(x + 4) + x] [(x + 4) - x] = (2 x + 4) \times 4 = 8 (x + 2) .

Pour $x = 6,$ le contrôle géométrique donne $1 0^{2} - 6^{2} = 100 - 36 = 64,$ et la forme factorisée donne $8 \times (6 + 2) = 64 .$

Pour s’entraîner, en fin de partie : modèle T1, « Rédiger la solution d’un problème ».

5.2 · DÉMONTRER

Démontrer un résultat général : de la conjecture à la preuve

MÉTHODE · LA BOÎTE À OUTILS DU DÉMONSTRATEUR, VERSION CALCUL LITTÉRAL

Ce chapitre contient plusieurs démonstrations complètes. Chaque encadré de démonstration indique en première ligne l’outil qu’il emploie ; voici les quatre outils principaux.

Preuve directe par le calcul littéral. On choisit un nombre quelconque, désigné par une lettre que l’on ne remplace jamais, et l’on enchaîne des égalités justifiées (distributivité, identité, réduction) jusqu’à la forme qui prouve : $5 (n + 2)$ pour un multiple de $5,$ $2 k + 1$ pour un impair. C’est l’outil de toute cette section.
Double comptage d’une aire. On calcule une même surface de deux façons ; les deux résultats sont égaux. Cet outil rend visible l’origine d’une formule, mais il ne vaut que pour des longueurs positives : la preuve algébrique achève le travail (partie 3).
Baptiser un bloc. On donne un nom à une expression entière $(k = a + b)$ pour lui appliquer un résultat déjà connu, puis on redéveloppe le bloc (section 2.2).
Contre-exemple. Pour réfuter une égalité annoncée « pour tous les nombres », un seul exemple chiffré suffit : $(3 + 4)^{2} = 49$ alors que $3^{2} + 4^{2} = 25 .$ À l’inverse, une liste finie d’exemples favorables ne démontre pas l’énoncé pour tous les réels.

Complément : tester une valeur simple $(x = 0$ ou $x = 1)$ peut détecter une erreur, mais ne prouve pas une identité pour tout $x;$ une identité se démontre par une chaîne d’égalités valable pour toutes les valeurs.

DÉFINITION · CONJECTURER N’EST PAS DÉMONTRER

Une conjecture est une affirmation proposée à partir d’observations et qui reste à démontrer. Pour un énoncé portant sur tous les nombres d’un ensemble infini, une liste finie d’exemples établit seulement les cas testés : elle ne couvre pas l’énoncé universel. Dans les situations de cette section, la démonstration choisit un nombre quelconque, précise ce que la lettre désigne, puis enchaîne des égalités justifiées. En revanche, un seul contre-exemple suffit à réfuter une affirmation universelle.

On lit « pour tout entier $n » :$ l’affirmation est vraie quel que soit l’entier choisi. En clair : une conjecture est une idée à prouver ; tant que la preuve n’est pas écrite, elle reste une idée, même après mille essais réussis.

Pour s’entraîner, en fin de partie : modèle J3, « Tester une affirmation sur des exemples et conjecturer ».

DÉFINITION · PROGRAMME DE CALCUL

Un programme de calcul est une suite d’instructions à effectuer dans l’ordre, à partir d’un nombre de départ. Avec un nombre de départ quelconque, noté $x,$ le programme produit une expression littérale ; le résultat obtenu pour un nombre donné est la valeur de cette expression pour ce nombre.

En clair : une expression littérale est un programme de calcul écrit sur une seule ligne ; $2 (3 x + 1)$ se lit « choisir $x,$ le multiplier par $3,$ ajouter $1,$ multiplier le résultat par $2 ».$

Pourquoi des parenthèses quand on traduit un programme ?

Outil de démonstration : les priorités opératoires.

Le résultat d’une instruction est un seul nombre. Quand l’instruction suivante le multiplie ou l’élève au carré, c’est ce nombre tout entier qui est multiplié : on le met entre parenthèses. Avec le programme « choisir $x,$ ajouter $6,$ multiplier par $4 »,$ le résultat est $4 (x + 6);$ sans parenthèses, $4 \times x + 6$ ne multiplierait que $x$ par $4 .$ Pour $x = 1,$ le programme donne $(1 + 6) \times 4 = 28,$ alors que $4 \times 1 + 6 = 10 . ■$

Pour s’entraîner, en fin de partie : modèle P1, « Utiliser un programme de calcul ».

Pourquoi peut-on effectuer la même opération sur les deux membres ?

Outil de démonstration : deux nombres égaux sont un seul et même nombre.

Si $A = B,$ les deux membres désignent le même nombre ; un même calcul appliqué à ce nombre donne un même résultat : $A + c = B + c,$ $A - c = B - c,$ $A \times c = B \times c,$ et, si $c \neq = 0,$ $\frac{A}{c} = \frac{B}{c} .$ On transforme ainsi l’égalité « expression $=$ résultat voulu », une opération par ligne, jusqu’à isoler $x .$ On ne divise jamais par $0 :$ c’est pourquoi on précise $c \neq = 0 .$ La vérification finale, qui applique le programme au nombre trouvé, contrôle qu’aucune erreur de calcul n’a été commise. ■

Pour s’entraîner, en fin de partie : modèle P2, « Trouver le nombre de départ qui donne un résultat voulu ».

EXEMPLE · DEUX PROGRAMMES : LES ESSAIS SUGGÈRENT, LE CALCUL DÉMONTRE

Programme A : choisir un nombre ; le multiplier par $5;$ ajouter $7;$ soustraire le nombre de départ ; ajouter $3 .$

Programme B : choisir un nombre ; le multiplier par $2;$ ajouter $5;$ multiplier le résultat par $2 .$

Figure 18.

Deux programmes, côte à côte

Nombre de départ1

Les programmes A et B, côte à côte : chaque instruction écrit son résultat à côté d’elle, et les deux résultats finals sont comparés en bas.

TA CONJECTURE

Après plusieurs essais, je conjecture que les programmes A et B…

Les essais du cours et la démonstration s’afficheront ici dès que ta conjecture sera trouvée.

EXEMPLE · LES ESSAIS, PUIS LA PREUVE

Avec $1,$ $2$ puis $3,$ les deux programmes donnent respectivement $14,$ $18$ et $22 .$ Cela suggère qu’ils sont équivalents, mais ne traite que trois nombres.

Soit $x$ un nombre quelconque. Le programme A donne $5 x + 7 - x + 3 = 4 x + 10;$ le programme B donne $2 (2 x + 5) = 4 x + 10 .$ Les deux expressions sont égales à $4 x + 10 .$ Donc, pour tout nombre $x,$ les deux programmes donnent le même résultat. $■$ Ici, la preuve n’est pas la liste d’essais ; c’est la réduction des deux résultats à une même expression.

Pourquoi une chaîne d’égalités prouve-t-elle une identité ?

Outil de démonstration : preuve directe par le calcul littéral.

Chaque égalité de la chaîne applique une règle vraie pour tous les nombres (distributivité, identité remarquable, réduction) : chaque maillon est donc vrai pour toute valeur de $x,$ et la chaîne relie le premier membre au second pour toute valeur de $x .$ C’est la question à poser devant une identité (partie 1, tableau « Devant un signe $= »$ ) : on part d’un membre et on le transforme par des égalités justifiées jusqu’à obtenir l’autre, ou l’on transforme chaque membre jusqu’à une même expression. Des essais numériques, eux, ne traitent que les valeurs essayées. ■

Pour s’entraîner, en fin de partie : modèle J1, « Démontrer qu’une égalité est vraie pour tout nombre ».

EXEMPLE COMPLET · LA DIFFÉRENCE DES CARRÉS DE DEUX ENTIERS PAIRS CONSÉCUTIFS

Question. Que peut-on dire de la différence des carrés de deux entiers pairs consécutifs ?

Étape 1 : expérimenter, au tableur ou à la main. Pour un entier $n,$ les deux entiers pairs consécutifs $2 n$ et $2 n + 2$ donnent la différence $(2 n + 2)^{2} - (2 n)^{2} :$

$n$	$0$	$1$	$4$	$12$	$125$
$2 n$	$0$	$2$	$8$	$24$	$250$
$2 n + 2$	$2$	$4$	$10$	$26$	$252$
$(2 n + 2)^{2} - (2 n)^{2}$	$4$	$12$	$36$	$100$	$1004$

(Au tableur : A2 $= n,$ B2 =(2*A2+2)^2-(2*A2)^2, puis on étire vers le bas.)

Figure 19.

Deux entiers pairs consécutifs : la différence de leurs carrés

Entier

n

Le carré de côté

2 n

(bleu) est posé dans le carré de côté

2 n + 2 :

leur différence est la bande orange, de largeur

2 .

L’échelle s’ajuste pour que le dessin remplisse le cadre.

TA CONJECTURE

D’après le tableau et la figure, il semble que la différence des carrés de deux entiers pairs consécutifs soit toujours…

La suite de l’exemple, de la conjecture à la preuve, s’affichera ici dès que ta conjecture sera trouvée.

EXEMPLE COMPLET · DE LA CONJECTURE À LA PREUVE

Étape 2 : conjecturer. Les cinq résultats sont des multiples de $4 :$ $4 = 4 \times 1,$ $12 = 4 \times 3,$ $36 = 4 \times 9,$ $100 = 4 \times 25$ et $1004 = 4 \times 251 .$ Il semble que la différence soit toujours un multiple de $4 .$ Les cas calculés sont établis, mais l’affirmation portant sur tous les entiers n’est pas encore démontrée.

Étape 3 : démontrer. Soit $n$ un entier quelconque ; les deux entiers pairs consécutifs sont $2 n$ et $2 n + 2 .$ Deux méthodes :

Méthode 1 (factorisation par $a^{2} - b^{2}) :$

(2 n + 2)^{2} - (2 n)^{2} = [(2 n + 2) + 2 n] [(2 n + 2) - 2 n] = (4 n + 2) \times 2 = 8 n + 4 = 4 (2 n + 1) .

Méthode 2 (développement) :

(2 n + 2)^{2} - (2 n)^{2} = 4 n^{2} + 8 n + 4 - 4 n^{2} = 8 n + 4 = 4 (2 n + 1) .

Or $n$ est un entier, donc $2 n + 1$ est un entier : $4 (2 n + 1)$ est un multiple de $4 .$

Étape 4 : conclure et vérifier. Donc, pour tout entier $n,$ la différence des carrés de deux entiers pairs consécutifs est un multiple de $4;$ mieux, elle vaut $4 (2 n + 1),$ quatre fois un nombre impair. $■$ Contrôle sur la table : pour $n = 12,$ $4 (2 n + 1) = 4 \times 25 = 100 .$ ✓

Comparaison des deux méthodes : le développement est plus automatique ; la factorisation donne en prime la raison du résultat : la différence est le produit de la somme des deux nombres, $4 n + 2,$ par leur écart, $2 .$ C’est la factorisation qui se généralisera le mieux (au TD : et si les entiers sont des impairs consécutifs ?).

Pour s’entraîner, en fin de partie : modèle J2, « Démontrer une propriété des nombres entiers ».

POUR S’ENTRAÎNER

Méthodes et exercices

Les modèles de rédaction, les exercices d’application et les questions flash de cette partie, dans l’ordre du cours.

5.1 · Les identités comme outil de vitesse

MODÈLE C1

Calculer de tête un carré ou un produit proche d’un nombre rond

Les étapes

Écrire chaque nombre comme un nombre rond $a$ plus ou moins un petit nombre $b,$ puis nommer l’outil : $(a + b)^{2},$ $(a - b)^{2},$ $(a + b) (a - b),$ ou la distributivité quand un seul facteur est proche d’un nombre rond.
Appliquer la formule avec ces nombres.
Calculer chaque terme de tête, puis le résultat.
Contrôler : le chiffre des unités et l’ordre de grandeur.

Pour $(a - b)^{2},$ même rédaction : $29 8^{2} = (300 - 2)^{2} = 90000 - 1200 + 4 = 88804 .$ Avec des nombres décimaux, le contrôle porte sur le dernier chiffre : $20, 2 \times 19, 8 = 2 0^{2} - 0, 2^{2} = 399, 96$ se termine comme $2 \times 8 = 16,$ par $6 .$

À résoudre

Calculer de tête : a) $30 2^{2};$ b) $302 \times 298;$ c) $23 \times 999 .$

Lire la rédaction complète

Sur la copie

a) ① J’utilise $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ avec $a = 300$ et $b = 2,$ car $302 = 300 + 2 .$

② $30 2^{2} = (300 + 2)^{2}$

② $30 2^{2} = 30 0^{2} + 2 \times 300 \times 2 + 2^{2}$

③ $30 2^{2} = 90000 + 1200 + 4 = 91204$

④ Contrôle : le chiffre des unités est celui de $2 \times 2 = 4,$ et $91204$ est un peu plus grand que $30 0^{2} = 90000 .$ ✓

b) ① J’utilise $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ avec $a = 300$ et $b = 2,$ car $302 = 300 + 2$ et $298 = 300 - 2 .$

② $302 \times 298 = (300 + 2) (300 - 2)$

② $302 \times 298 = 30 0^{2} - 2^{2}$

③ $302 \times 298 = 90000 - 4 = 89996$

④ Contrôle : le chiffre des unités est celui de $2 \times 8 = 16,$ soit $6,$ et $89996$ est un peu plus petit que $30 0^{2} = 90000 .$ ✓

c) ① J’utilise la distributivité $k (a - b) = k a - k b$ avec $k = 23,$ $a = 1000$ et $b = 1,$ car $999 = 1000 - 1$ et seul $999$ est proche d’un nombre rond.

② $23 \times 999 = 23 \times (1000 - 1)$

② $23 \times 999 = 23 \times 1000 - 23 \times 1$

③ $23 \times 999 = 23000 - 23 = 22977$

④ Contrôle : le chiffre des unités est celui de $3 \times 9 = 27,$ soit $7,$ et $22977$ est un peu plus petit que $23 \times 1000 = 23000 .$ ✓

Au TD : exercices 4.1, 4.4 a) à c), 4.5 c) et 6.4 a) et b)

MODÈLE C2

Calculer de tête en reconnaissant la forme développée d’une identité

Les étapes

Reconnaître la forme et nommer $a$ et $b :$ $a^{2} - b^{2},$ $a^{2} + 2 ab + b^{2}$ ou $a^{2} - 2 ab + b^{2} .$
Écrire le produit correspondant : $(a + b) (a - b),$ $(a + b)^{2}$ ou $(a - b)^{2} .$
Calculer de tête les parenthèses, puis la seule multiplication qui reste.
Contrôler le chiffre des unités.

Une différence de deux carrés devient une seule multiplication ; un carré parfait devient le carré d’un nombre rond. Avec le signe $-,$ même rédaction : $6 3^{2} - 2 \times 63 \times 3 + 3^{2} = (63 - 3)^{2} = 6 0^{2} = 3600 .$ Avec des nombres décimaux, $9, 5^{2} - 0, 5^{2} = (9, 5 + 0, 5) (9, 5 - 0, 5) = 10 \times 9 = 90;$ le contrôle porte sur les chiffres après la virgule : $9, 5^{2}$ et $0, 5^{2}$ se terminent tous deux par $25$ après la virgule, comme $5 \times 5 = 25,$ donc leur différence n’a pas de chiffre après la virgule.

À résoudre

Calculer de tête : a) $7 6^{2} - 2 4^{2};$ b) $3 8^{2} + 2 \times 38 \times 2 + 2^{2} .$

Lire la rédaction complète

Sur la copie

a) ① J’utilise $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ avec $a = 76$ et $b = 24 .$

② $7 6^{2} - 2 4^{2} = (76 + 24) (76 - 24)$

③ $7 6^{2} - 2 4^{2} = 100 \times 52 = 5200$

④ Contrôle : $7 6^{2}$ se termine comme $6 \times 6 = 36,$ par $6;$ $2 4^{2}$ se termine comme $4 \times 4 = 16,$ par $6;$ la différence se termine donc par $0,$ comme $5200 .$ ✓

b) ① J’utilise $a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}$ avec $a = 38$ et $b = 2 .$

$3 8^{2} + 2 \times 38 \times 2 + 2^{2}$

② $= (38 + 2)^{2}$

③ $= 4 0^{2} = 1600$

④ Contrôle : les chiffres des unités des trois termes sont $4,$ $2$ et $4,$ et $4 + 2 + 4 = 10$ se termine par $0,$ comme $1600 .$ ✓

Au TD : exercices 4.2, 4.3 a), 4.4 d) et 6.4 c)

MODÈLE T1

Rédiger la solution d’un problème

À résoudre

Une photo carrée de $15 cm$ de côté est collée au centre d’un carton carré de $17 cm$ de côté. Calculer de tête l’aire de la partie visible du carton.

Les étapes

Sur la copie

① Je sais que le carton est un carré de $17 cm$ de côté et que la photo, collée au centre, est un carré de $15 cm$ de côté.
② Je cherche l’aire $A$ de la partie visible du carton : c’est l’aire du carton moins l’aire de la photo, donc $A = 1 7^{2} - 1 5^{2},$ en cm².
③ J’utilise $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ avec $a = 17$ et $b = 15 :$ $A = (17 + 15) (17 - 15) = 32 \times 2 = 64$ .
④ Conclusion : la partie visible du carton a une aire de $64 cm^{2}$ .
⑤ Vérification : la partie visible est une bande de $1 cm$ de large autour de la photo ; sa ligne médiane mesure environ $4 \times 16 = 64 cm$ , d’où une aire d’environ $64 \times 1 = 64 cm^{2} .$ ✓

Au TD : exercice 4.3 a) et b) (calcul de a) : modèle C2) ; facultatif : exercice 4.6

5.2 · Démontrer un résultat général : de la conjecture à la preuve

MODÈLE J3

Tester une affirmation sur des exemples et conjecturer

Les étapes

Calculer chaque exemple, en écrivant le calcul.
Écrire ce que l’on constate ; si l’énoncé le demande, formuler la conjecture : « Il semble que… ».
Dire ce que les exemples établissent : seulement les cas testés ; pour tous les nombres, il faut une démonstration.

À résoudre

Calculer la somme de deux entiers consécutifs sur trois exemples, formuler une conjecture, puis dire ce que ces exemples établissent.

Lire la rédaction complète

Sur la copie

① $5 + 6 = 11;$ $12 + 13 = 25;$ $40 + 41 = 81 .$

② Ces trois sommes sont impaires. Il semble que la somme de deux entiers consécutifs soit toujours impaire.

③ Ces exemples établissent seulement les cas testés : l’affirmation porte sur une infinité d’entiers, il faut donc une démonstration avec une lettre.

Au TD : exercices 5.1 d), 5.2 a), 5.4 a) et c) et 6.5 a)

MODÈLE P1

Utiliser un programme de calcul

Les étapes

Partir du nombre de départ : le nombre donné, ou $x$ pour un nombre quelconque.
Effectuer les instructions dans l’ordre, un calcul par instruction ; avec $x,$ mettre entre parenthèses le résultat précédent quand l’instruction suivante le multiplie ou l’élève au carré.
Écrire le résultat ; avec $x,$ développer et réduire l’expression obtenue.

Avec un nombre, les calculs s’écrivent sur une ligne, séparés par « ; » ; avec $x,$ une ligne par instruction.

À résoudre

Programme : choisir un nombre ; le multiplier par $- 3;$ ajouter $8;$ multiplier le résultat par $2 .$ a) Calculer le résultat avec $4$ au départ. b) Vérifier que le nombre de départ $2$ donne $4 .$ c) Exprimer le résultat en fonction du nombre de départ $x .$

Lire la rédaction complète

Sur la copie

a) ① Avec $4$ au départ : ② $4 \times (- 3) = - 12;$ $- 12 + 8 = - 4;$ $- 4 \times 2 = - 8 .$ ③ Le résultat est $- 8 .$

b) ① Avec $2$ au départ : ② $2 \times (- 3) = - 6;$ $- 6 + 8 = 2;$ $2 \times 2 = 4 .$ ③ J’obtiens bien $4 .$ ✓

c) ① Avec $x$ au départ :

② Je multiplie par $- 3 :$ $- 3 x .$
J’ajoute $8 :$ $- 3 x + 8 .$
Je multiplie le résultat par $2 :$ $2 (- 3 x + 8) .$

③ Le résultat est $2 (- 3 x + 8) = 2 \times (- 3 x) + 2 \times 8 = - 6 x + 16 .$

Au TD : exercices 5.1 a) à c), 5.2 et 5.3 a) à c)

MODÈLE P2

Trouver le nombre de départ qui donne un résultat voulu

Les étapes

Écrire l’égalité « expression du programme $=$ résultat voulu ».
Résoudre : effectuer la même opération sur les deux membres, une par ligne, jusqu’à obtenir $x = \dots$
Conclure par une phrase qui répond à la question.
Vérifier en appliquant le programme au nombre trouvé.

À résoudre

Avec le même programme, dont le résultat est $- 6 x + 16 :$ quel nombre de départ faut-il choisir pour obtenir $22 ?$

Lire la rédaction complète

Sur la copie

① Je cherche $x$ tel que $- 6 x + 16 = 22 .$

$- 6 x + 16 = 22$

② $- 6 x = 22 - 16 = 6$ je soustrais $16$ aux deux membres

② $x = \frac{6}{- 6} = - 1$ je divise les deux membres par $- 6$

③ Conclusion : il faut choisir $- 1$ comme nombre de départ.

④ Vérification : $(- 1) \times (- 3) = 3;$ $3 + 8 = 11;$ $11 \times 2 = 22 .$ ✓

Au TD : exercices 5.1 c) et 5.3 d)

MODÈLE J1

Démontrer qu’une égalité est vraie pour tout nombre

Les étapes

Partir d’un membre, en général celui que l’on peut développer ou réduire.
Le transformer par une chaîne d’égalités justifiées, une étape par ligne, jusqu’à obtenir l’autre membre (ou transformer chaque membre jusqu’à une même expression).
Conclure : « Donc, pour tout nombre $x,$ … », puis $■ .$

Dans une démonstration, un produit se développe en une ligne, produits déjà calculés.

À résoudre

Démontrer que, pour tout nombre $x :$ a) $(x + 2) (x + 6) - (x + 4)^{2} = - 4;$ b) $(3 x + 1)^{2} - 1 = 3 x (3 x + 2) .$

Lire la rédaction complète

Sur la copie

a) ① Je développe le membre de gauche.

$(x + 2) (x + 6) - (x + 4)^{2}$

② $= x^{2} + 6 x + 2 x + 12 - (x^{2} + 8 x + 16)$ double distributivité, puis $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$

② $= x^{2} + 6 x + 2 x + 12 - x^{2} - 8 x - 16$ le signe $-$ change le signe de chaque terme de la parenthèse

② $= - 4$ je regroupe les termes semblables

③ Je retrouve le membre de droite. Donc, pour tout nombre $x,$ $(x + 2) (x + 6) - (x + 4)^{2} = - 4 .$ $■$

b) ① Je développe chaque expression.

② $(3 x + 1)^{2} - 1 = 9 x^{2} + 6 x + 1 - 1$ $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$

② $(3 x + 1)^{2} - 1 = 9 x^{2} + 6 x$

② $3 x (3 x + 2) = 9 x^{2} + 6 x$ distributivité simple

③ Les deux expressions sont égales à $9 x^{2} + 6 x .$ Donc, pour tout nombre $x,$ $(3 x + 1)^{2} - 1 = 3 x (3 x + 2) .$ $■$

Au TD : exercices 1.5, 2.4 d), 4.3 c), 5.1 d), 5.2 b) et 6.3 b)

MODÈLE J2

Démontrer une propriété des nombres entiers

Les étapes

Choisir la lettre et dire ce qu’elle désigne : « Soit $n$ un entier quelconque », puis écrire avec elle les nombres de l’énoncé (consécutifs $n,$ $n + 1;$ pair $2 n;$ impair $2 n + 1).$
Calculer, développer ou factoriser : une chaîne d’égalités, une étape par ligne, sans jamais remplacer $n$ par un nombre.
Reconnaître la forme obtenue : « Or… » $(3 k$ est un multiple de $3,$ $2 k + 1$ est impair), en disant pourquoi $k$ est un entier.
Conclure : « Donc, pour tout entier $n,$ … », puis $■ .$

La lettre désigne le premier nombre de l’énoncé.

À résoudre

Démontrer que la somme de quatre entiers pairs consécutifs est un multiple de $4 .$

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Sur la copie

① Soit $n$ un entier quelconque. Quatre entiers pairs consécutifs s’écrivent $2 n,$ $2 n + 2,$ $2 n + 4$ et $2 n + 6 .$

② Je calcule leur somme :

$2 n + (2 n + 2) + (2 n + 4) + (2 n + 6)$

② $= 8 n + 12$ je regroupe les termes semblables

② $= 4 (2 n + 3)$ je mets $4$ en facteur

③ Or $n$ est un entier, donc $2 n + 3$ est un entier : $4 (2 n + 3)$ est un multiple de $4 .$

④ Donc, pour tout entier $n,$ la somme de quatre entiers pairs consécutifs est un multiple de $4 .$ $■$

Au TD : exercices 5.4 d) et e) et 6.5 b)

Au TD : bloc transversal « Justifier et raisonner » ; facultatifs : exercices 5.5 à 5.8

Questions flash (sans aide)

Cherche sans aide, puis ouvre la réponse pour te corriger.

01Calculer $49 \times 51$ de tête.

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$(50 - 1) (50 + 1) = 2500 - 1 = 2499$

02Calculer $5 9^{2} - 4 1^{2}$ en une seule multiplication.

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$(59 + 41) (59 - 41) = 100 \times 18 = 1800$

03Écrire deux entiers consécutifs dont le plus grand est $n .$

Voir la réponse

$n - 1$ et $n$

04 $« n^{2} + n + 41$ est premier pour $n = 1,$ $2$ et $3 » :$ cela prouve-t-il qu’il est premier pour tout entier $n ?$

Voir la réponse

non, les trois calculs établissent seulement les trois cas testés (et pour $n = 41,$ $4 1^{2} + 41 + 41 = 41 \times 43$ n’est pas premier).

Au TD, les exercices cités dans cette partie, avec leur corrigé : 1.5, 2.4, 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 5.7, 5.8, 6.3, 6.4, 6.5.