Développer et réduire

Développer un produit, c’est l’écrire sous la forme d’une somme qui lui est égale, en effectuant les multiplications. Développer et réduire, c’est ensuite écrire cette somme avec le moins de termes possible.

En clair : développer, c’est faire disparaître les parenthèses d’un produit en distribuant ; l’expression garde exactement la même valeur, seule son écriture change.

Pour tous nombres réels $k\text{,}$ $a\text{,}$ $b\text{ :}$

Comme la multiplication est commutative, on peut aussi distribuer par la droite :

On lit $k(a+b)$ $\text{« }k$ facteur de $a$ plus $b\text{ »,}$ et $ka$ $\text{« }k$ $a\text{ »,}$ c’est-à-dire le produit $k\times a\text{.}$ En clair : multiplier une somme par $k\text{,}$ c’est multiplier chacun de ses termes par $k\text{.}$

• $-3x(4-5x)=-3x\times 4+(-3x)\times (-5x)=-12x+15x^2\text{.}$ Attention aux signes : $(-3x)\times (-5x)=+15x^2\text{.}$
• $2(4x+3)-(5-x)=8x+6-5+x=9x+1\text{.}$ Le signe $-$ devant la parenthèse est un facteur $-1\text{ :}$ c’est l’opposé de l’expression.

Deux termes sont semblables lorsqu’ils ont exactement la même partie littérale : $5x^2$ et $-2x^2$ (partie littérale $x^2\text{),}$ $3x$ et $x$ (partie littérale $x\text{),}$ $4$ et $-9$ (aucune lettre). Le nombre qui multiplie la partie littérale est le coefficient du terme : dans $-2x^2\text{,}$ le coefficient est $-2\text{;}$ dans $x\text{,}$ il vaut $1\text{.}$ Réduire une somme, c’est regrouper ses termes semblables pour l’écrire avec le moins de termes possible ; on l’ordonne ensuite : les termes en $x^2\text{,}$ puis en $x\text{,}$ puis le nombre.

En clair : réduire, ce n’est ni développer ni factoriser ; c’est ranger les $x^2$ avec les $x^2\text{,}$ les $x$ avec les $x$ et les nombres avec les nombres, jamais les uns avec les autres.

Pour tous nombres réels $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c\text{,}$ $d\text{ :}$

Chaque terme du premier facteur multiplie chaque terme du second : quatre produits.

On lit $(a+b)(c+d)$ $\text{« }a$ plus $b\text{,}$ facteur de $c$ plus $d\text{ ».}$ En clair : on distribue $a$ sur $c$ et sur $d\text{,}$ puis $b$ sur $c$ et sur $d\text{;}$ les deux produits croisés $ad$ et $bc$ sont ceux que l’on oublie le plus souvent.

Outil de démonstration : double comptage d’une aire (une même surface calculée de deux façons), valable pour des longueurs positives.

On considère un rectangle de longueur $a+b$ et de largeur $c+d\text{.}$ En le partageant aux distances $a$ et $c\text{,}$ on obtient quatre rectangles (figure ci-dessous).

L’aire du grand rectangle vaut $(a+b)(c+d)\text{.}$ La somme des aires des quatre morceaux vaut $ac+ad+bc+bd\text{,}$ donc

Outil de démonstration : preuve directe par un bloc baptisé $k\text{,}$ à partir d’une propriété déjà connue.

Soustraire une expression, c’est ajouter son opposé : $A-B=A+(-B)\text{.}$ Pour soustraire un produit, on écrit donc son développement entre parenthèses, puis on supprime ces parenthèses en changeant le signe de chacun de ses termes (partie 1, opposé d’une expression) :

En clair : le signe $-$ placé devant un produit porte sur tout son développement, et pas seulement sur son premier terme.

Écrire $(2x+3)(x-4)=2x^2-8x+3x-12=2x^2-5x-12$ est légitime parce que chaque étape remplace une expression par une expression de même valeur. En revanche, on n’écrit jamais dans une même chaîne une consigne, un calcul et son résultat comme s’ils étaient égaux. Chaque signe $\text{« }=\text{ »}$ affirme que les deux membres ont la même valeur.

1. Oublier les produits croisés : $(x+2)(x+5)=x^2+10$ n’est pas une identité : pour $x=1\text{,}$ $(1+2)\times (1+5)=18$ mais $1^2+10=11\text{,}$ et $18\ne 11\text{.}$ Le développement correct est $x^2+7x+10\text{.}$
2. Perdre un signe : dans $(x-4)(3x+2)\text{,}$ le $-4$ multiplie les deux termes de la seconde parenthèse. Pourquoi l’erreur est fréquente : on lit $\text{« }4\text{ »}$ et on oublie que le signe fait partie du terme.
3. Distribuer un $-$ à moitié : soustraire un groupe revient à ajouter son opposé, $A-B=A+(-1)B\text{.}$ Ainsi $2(4x+3)-(5-x)=8x+6-5+x\text{,}$ et non $8x+6-5-x\text{ :}$ le facteur $-1$ change le signe de chaque terme du groupe.